14-09-2025 - Exercise - Linear Programming, Part Production [EN]-[IT]

Cover background image generated with AI, software used: copilot microsoft

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~~~ La versione in italiano inizia subito dopo la versione in inglese ~~~

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[ENGLISH]
14-09-2025 - Exercise - Linear Programming, Part Production [EN]-[IT]

Image generated with AI, Microsoft Copilot

With this post, I would like to provide some brief insights into the above topic by completing some exercises.
The context in which we operate is that of Operations Research
(lesson/article code: MS_10)

Linear Programming (LP)
Let's try to perform a linear programming exercise in an industrial setting.
Problem
Let's pretend a company produces two parts, which we'll call A and B. A will be the variable x1 and B will be the variable x2.
A produces a profit of €30 per part.
B produces a profit of €20 per part.
We have two departments at our disposal that manage production as follows:
Department 1 has 100 hours, in which it spends 2 hours to produce A and 1 hour to produce B.
Department 2 has 80 hours, in which it spends 1 hour to produce A and 2 hours to produce B.

Linear Programming Model
Now let's translate the exercise into a linear programming problem.
Let's collect the data for A. of B and the various hours spent producing the parts, and we will obtain the objective function and the following system of equations.

Considerations
This exercise can be solved using a graphical method or the simplex method.
Today we will see the solution using the graphical method.

Given the problem above, the graph will be as follows:

Image created with artificial intelligence, the software used is ChatGPT

How ​​to draw lines
The first thing to do is bring the inequalities to the boundary constraint, so to draw the lines we will use equality (also called boundary).
We will therefore have the following.

Now we need to find two points to draw the line from, and we'll find the intercepts on the axes.
First line

Second line

Below is the graph with the lines intercepting the axes.

The orange line and the The blue lines meet at a specific point C(40,20)

Below is the graph with the feasible region colored in blue.

The blue region represents all producible combinations that respect the resources. The optimal graph lies on a vertex of this polygon, which in the graph is represented by point C.

Result
To optimize production, 40 pieces of A and 20 pieces of B. This way, all 100 hours of Department 1 and all 80 hours of Department 2 will be used. The maximum profit will be €1,600 per week.

Conclusions
This exercise represents a classic linear programming problem. Linear programming is a mathematical technique used to optimize an objective while respecting given constraints. It is used in fields such as economics, engineering, logistics, and business management to make the best possible decisions.

Question
Did you know that this problem-solving technique was adopted during World War II to feed soldiers at minimal cost while meeting protein and vitamin requirements?

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[ITALIAN]
14-09-2025 - Esercizio - Programmazione lineare, produzione pezzi [EN]-[IT]

Immagine generata con IA, Microsoft Copilot

Con questo post vorrei fornire alcune brevi nozioni a riguardo dell’argomento citato in oggetto svolgendo degli esercizi.
Il contesto in cui operiamo è quello della Ricerca Operativa
(codice lezione/articolo: MS_10)

Programmazione lineare PL
Proviamo ad eseguire un esercizio di programmazione lineare calandoci in una realtà industriale
Problema
Facciamo finta che un'azienda produca due pezzi che chiameremo A e B. A sarà la variabile x1 e B sarà la varibiale x2
A produce un profitto di 30€ al pezzo
B produce un profitto di 20€ al pezzo
Abbiamo due reparti a nostra disposizione che riescono a gestire la produzione come segue:
il Reparto 1 ha 100 ore in cui impiega 2h per fare A e 1h per fare B
il Reparto 2 ha 80 ore in cui impiega 1h per fare A e 2h per fare B

Modello di programmazione lineare
Ora traduciamo l'esercizio sotto forma di un problema di programmazione lineare
Raccogliamo i dati di A di B e le varie ore impiegate per produrre i pezzi e otterremo la funzione obiettivo ed il sistema di equazioni seguente.

Considerazioni
Questo esercizio può essere risolto con un metodo grafico o con il metodo del simplesso.
Oggi vedremo la soluzione con il metodo grafico.

Dato il problema qui sopra proposto, il grafico sarà il seguente

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT

Come si tracciano le rette
La prima cosa da fare è portare le disequazioni al vincolo di frontiera, quindi per disegnare le rette useremo l'uguaglianza (detta appunto anche frontiera)
Avremo quindi quanto segue.

Ora dobbiamo trovare due punti per tracciare la retta e cercheremo le intercette sugli assi.
prima retta

seconda retta

Qui di seguito il grafico con le rette che intercettano gli assi

La retta arancione e la retta azzurra si incontrano in un punto preciso C(40,20)

Qui di seguito il grafico con la regione ammissibile colorata di azzurro

La zona azzurra rappresenta tutte le combinazioni producibili che rispettano le risorse, l'ottimo grafico sta su un vertice di questo poligono, che nel grafico è rappresentato dal punto C.

Risultato
Per ottimizzare la produzione bisogna produrre 40 pezzi di A e 20 pezzi di B. In questa maniera si useranno tutte le 100h del reparto 1 e tutte le 80 ore del reparto 2. Il profitto massimo sarà 1600€ a settimana

Conclusioni
Questo esercizio rappresenta un classico problema di programmazione lineare. La programmazione lineare è una tecnica matematica utilizzata per ottimizzare un obiettivo cercando di rispettare dei vincoli dati. Serve in ambiti come economia, ingegneria, logistica e gestione aziendale per prendere le migliori decisioni possibili.

Domanda
Sapevate che questa tecnica di risoluzioni dei problemi fu adottata durante la seconda guerra mondiale per poter nutrire i soldati al minimo costo rispettando fabbisogni di proteine e vitamine?

THE END