CATEGORÍAS EN ESPACIOS MÉTRICOS

Si (X,d) es un espacio métrico y A es un subconjunto de X, se dice que es nunca denso, si el interior de su clausura es vacío, en simbología topológica (A^—)⁰=∅. En otras palabras, no existe un abierto no vacío U de X , tal que U⊂A^—.

Un resultado fundamental en esa teoría, es que si A es nunca denso en X y U es un abierto no vacío cualquiera, existe una bola cerrado S(x,r)={ y∈X: d(x,y)≤r } tal S(x,r)⊂U con S(x,r)∩A=∅.

Un espacio métrico (X,d) se dice de primera categoría, si se puede escribir como unión numerable de conjuntos nunca densos. De lo contrario se dice de segunda categoría.

Todo espacio métrico completo (X,d) es de segunda categoría.

Ejercicios

1.-Demostrar que la unión finita de conjuntos nunca densos es nunca denso.

Solución. Supongamos que A y B subconjuntos del espacio métrico X son ambos nunca densos, luego (A^—)⁰=(B^—)⁰=∅.

Supongamos que la unión no es nunca denso, luego existe un abierto U⊂(A∪B)^—=A^—∪ B^—. Por otro lado, existe una bola cerrada S(x,r)⊂U con S(x,r)∩A=∅ y para la bola abierta B(x,r)={ y∈X: d(x,y)<r}, existe una bola cerrada S(z,s) ⊂B(x,r) con S(z,s)∩B(x,r)=∅. Como S(z,s) ⊂A^—∪ B^—, luego S(z,s)∩A≠∅. o S(z,s)∩B≠∅. lo que es contradictorio.

La prueba en general se sigue por inducción.

2.-(a) Sea X un espacio métrico y A un subconjunto de X. Si X es de primera categoría, entonces A es de primera categoría.

(b) Sea X es un espacio métrico y A es un subconjunto de X. Si A es de segunda categoría, entonces X es de segunda categoría.

Solución.(a)Si X es de primera categoría, X=∪_k=1^+∞A_k. donde cada A_k es nunca denso. Como A=∪_k=1^+∞A_k∩A y ((A_k∩A)^—)⁰⊂(A_k^—)⁰=∅, se deduce el resultado.

(b) es una consecuencia de la parte anterior.

3.-Probar que un conjunto nunca denso no puede tener puntos aislados.

Solución.. Si x∈A es un punto aislado, donde A es un conjunto nunca denso, entonces existe una bola abierta B(x,r)={ x}⊂A, lo que es contradictorio.

4.-Sea (X,d) un espacio métrico contable. Probar que X es de primera categoría, si y sólo si, no tiene puntos aislados.

Solución. Para ver el directo, supongamos que X=∪_k=1^+∞A_k. donde cada A_k es nunca denso. Como cada elemento x de X pertenece a algún A_k, es imposible que sea un punto aislado.

Para ver el recíproco, suponga que X={ x₁, x₂,....}. Como cada A_n= { x_n} es nunca denso por la hipótesis del recíproco, el resultado se sigue.

5.- Probar que un espacio métrico contable infinito y completo, tiene un numero infinito de puntos aislados.

Solución.. Supongamos que sólo tiene un número finito de puntos aislados x₁, x₂,..., x_n, entonces X−{ x₁, x₂,..,x_n} es cerrado y por lo tanto completo. Como no tiene puntos aislados, por el ejercicio (4) es de primera categoría, lo que es contradictorio.

6.-Si (X,d) es un espacio métrico completo y A_n es una familia de subconjunto densos, entonces ∩_nA_n es denso.

Solución. Consideremos B_n=X− A_n , tomando clausura obtenemos que B_n^—=X—A_n^—=X− A_n^—=∅. Esto dice que cada B_n es nunca denso. Sea ahora x∈X y U un abierto tal que x∈U. Existen bolas cerradas S_n tales que S_n∩B_n = ∅ con diámetro de cada S_n convergiendo a cero y S_n⊃S_n+1. Existe por ser X completo w∈ ∩_nS_n y w∉ ∪_k=1^+∞B_k=∪_k=1^+∞X—A_k, de lo que se deduce que w∈ ∩_nA_n

7.- Demostrar que en los números reales con su métrica usual, el subconjunto de los número irracionales, no se puede escribir como unión de conjuntos cerrados..

Solución.. Denotemos por I el subconjunto de los números irracionales. Supongamos que vale lo contrario, es decir I=∪_k=1^+∞F_k, donde cada F_k es cerrado en la métrica usual de R. Es fácil ver que cada F_k es nunca denso y como el subconjunto Q de los números racionales es nunca denso, entonces R=(∪_k=1^+∞F_k)∪Q. Esto dice que R es de primera categoría, lo que es absurdo ya que R es un espacio métrico completo en su métrica usual.,

Nota. Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de tópicos especiales en espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editorial chelsea. 1972. Boston.