EJERCICIOS EN TOPOLOGÍAS MÉTRICAS

Sea (X,d) un espacio métrico, recuerde que un subconjunto U de X es un abierto, si dado x∈U, existe una bola abierta B(x,r)={y∈X: d(y,x)<r} (r>0) tal que B(x,r)⊆U. Es conocido que toda bola abierta B(x,r) es un abierto, que la unión arbitraria de abiertos es abierto y la intersección finita de abiertos es abierto. Además que la clausura topológica de la bola abierta: B(x,r)^—={y∈X: d(y,x)≤r } =C(x,r) llamada la bola cerrada de centro x y radio r.

Ejercicios.

1.-Considere un espacio métrico (X,d). Demostrar que los puntos de un abierto U de cardinal finito tiene todos su puntos aislados.

Solución.

Recuerde que un punto x∈X, se dice que es un punto aislado, si existe una bola abierta B(x,r), tal que B(x,r)={x}. Es decir el punto es abierto en el espacio métrico.

Hagamos la demostración por inducción. Sea U={x}, como existe una bola abierta B(x,r)⊆U, entonces U=B(x,r)={x}.

Supongamos que el resultado es cierto para un abierto de cardinal n. Sea U un abierto de X, tal que U={x₁,...,x_n+1} con todos los x_k distintos.

Existen por la propiedad de Hausdorff r, r₁,...,r_n números reales no negativos tales que B(x_n+1,r)∩B(x_k,r_k) =∅ (k=1,2,...,n) y con B(x_n+1,r)= {x_n+1} ⊆U. Como B(x_n+1,r)= {x_n+1} es abierto y cerrado, entonces U—B(x_n+1,r)={x₁,...,x_n} es abierto y se aplica la hipótesis inductiva.

2.-Considere un espacio métrico (X,d) tal que X es de cardinal infinito. Demuestre que existe un abierto U de X, tal que tanto U como su complemento X−U son ambos de cardinales infinitos.

Solución.

Supongamos que el espacio métrico X tiene una familia numerable infinita de puntos aislados distintos x₁, x₂,..., x_n,...

Si definimos U={x_2n: n≥1}, es claro que U es abierto de cardinal infinito y como x_2n+1∈X−U, lo mismo ocurre con el cardinal de X−U y por lo tanto se deduce el resultado.

Ahora supondremos que X sólo puede tener un número finito de puntos aislados x₁, x₂,..., x_n. Sabemos que U=X−{x₁,...,x_n} es un abierto del espacio métrico y U no puede ser finito, de lo contrario U es de puntos aislados, pero esto es imposible porque ya los hemos considerado todos. Sean x,y ∈U dos puntos distintos, como todo espacio métrico es de Hausdorff, existen dos bolas abiertas disjuntas B(x,r) y B(y,s) ambas contenidas en U. Por ser B(x,r) y B(y,s) conjuntos abiertos no vacíos del espacio métrico y por U no contener puntos aislados, ellos son de cardinal infinito, Si llamamos W=B(x,r) , entonces W y su complemento X−W son de cardinal infinito. Esto termina la prueba.

3.-Sea (X,d) un espacio métrico, tal que si U=∩_i∈IU_i entonces U es abierto, demuestre que X es discreto.

Solución.

Veamos que X es discreto, es decir cada punto x∈X es aislado. Si x∈X, luego {x}=∩_r>0B(x,r), de lo que se deduce que {x} es abierto, lo que termina la prueba.

4.-Sea (X,d) un espacio métrico. Son equivalentes: (a) x∈X no es aislado (b) Si U es un entorno de x, entonces U es infinito.

Solución.

Para ver el directo, suponga que x no es un punto aislado y U sea un entorno de x. luego existe una bola abierta B(x,r)⊆U. Como B(x,r) es abierto no vacío, por el ejercico uno no puede ser finito, de lo contrario x es aislado y esto es una contradicción.

Ahora suponga que todo entorno de x es de cardinal infinito. Si x es aislado, luego existe una bola abierta B(x,r)={x}, pero la bola abierta B(x,r) es un entorno del punto x y por lo tanto tiene que tener cardinal infinito, lo que es contradictorio.

5.-Sea (X,d) un espacio ultramétrico y consideremos dos puntos distintos b, z∈X y las bolas abiertas B(b,r) y B(z,s) tales que B(b,r)∩B(z,s) ≠ ∅. Demuestre que una está contenida en la otra.

Solución.

Primero demostremos que para todo puntos distintos a, c∈B(b,r) obtenemos que d(a,c)<r. Recuerde que si d es una ultramétrica, entonces d(a,c)≤máx(d(a,b), d(b.c))<r. Esto prueba lo firmado y a la vez se deduce que B(b,r) =B(c,r), Supongamos que existe un punto c∈B(b,r)∩B(z,s) con r≤s. De lo anterior deducimos que B(b,r)=B(c,r) y B(z,s)=B(c,s), de lo que se prueba lo afirmado.

Nota.

Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.