ESPACIO PRODUCTO
ESPACIO PRODUCTO
Sean (X,d) y (Y,d´) dos espacios métricos, podemos definir su espacio producto X×Y, mediante la métrica d´´((x,y),(w,z))=(d(x,w)2+d´(x,w)2)1/2. Es claro que (xn,yn)→ (x,y), si y sólo si, xn→x, yn→y en las métricas respectivas.
Ejercicios.
1.-Sean (X,d) y (Y,d´) dos espacios métricos. Probar que la proyección natural π:X×Y→Y, por π(x,y)=y es una aplicación abierta.
Solución.
Sea U un abierto en X×Y y π(U)=V. Dado y∈ V, existe x∈ X tal que (x,y)∈U y por lo tanto dos bolas abiertas B(x,r) en X y B(y,s) en Y tales que B(x.r)×B(y.s)⊂U, luego π( B(x.r)×B(y.s))=B(y,s)⊂V. Esto prueba el resultado,
2. Sean (X,d) y (Y,d´) dos espacios métricos con (X,d) compacto, Pruebe que la proyección natural π:X×Y→Y es cerrada.
Solución. Sea F un cerrado en el espacio producto X×Y y W= π(F). Sea w un punto de la clausura W—, existe por lo tanto una sucesión π(zn,wn)=wn→w, con (zn,wn) ∈ F . Como X es compacto, existe una subsucesión znk→x; y por ser F cerrado y (znk,wnk)→(x,w), deducimos que (x,w) ∈ F. Por lo tanto π(x,y)=w ∈W.
3.-(a) si f es una aplicación continua de un espacio métrico X en un espacio métrico Y, probar que el gráfico de f es cerrado en el espacio producto X×Y . (b) Si Y es compacto y el gráfico de f es cerrado, entonces f es continua.
Solución. (a) sea una sucesión (xn,f(xn)→(x,y). Veamos que f(x)=y. Como xn→x, por ser f continua, f(xn)→f(x). Por la unicidad del límite f(x)=y, Esto prueba que el gráfico de f es cerrado.
(b) Supongamos que xn→x, luego (xn, f(xn) pertenece al gráfico de f. Además existe f(xnk)→y, por la compacidad de Y. Es decir (xnk, f(xnk)→(x,y). Como el gráfico es cerrado, deducimos que (x,y) pertenece al gráfico de f, es decir f(x)=y. Esto prueba lo pedido.
4.-Sea (X,d) un espacio métrico y consideremos el espacio producto de X por sí mismo X×X=X2. La diagonal del producto es el subconjunto Δ={ (x,x):∈ X } . Pruebe que la diagonal es un subconjunto cerrado en X2.
Solución. Sea ( xn, xn)→(x,y). Se deduce que xn→x, yn→x, luego y=x. Esto prueba lo pedido.
Nota.
Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de tópicos especiales en espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.