SOBRE UN RESULTADO DE STONE(La imagen una fotografía de Stone)

Considere R un anillo de Boole, es decir un anillo conmutativo con identidad tal que todo elemento es idempotente, es decir x²=x, ∀ x∈R.


Si x∈R, x≠0, veamos que x∉R(1−x). En efecto, de lo contrario x=r´(1−x), luego x²=x=0, lo que es contradictorio.


Lo anterior nos permite considerar la familia de conjuntos F={ J⊂R: J es un ideal propio de R con R(1−x)⊆ J} , la que es obviamente no vacía. Se define el orden parcial I≤J, si y sólo si I⊆J, ∀ I, J ∈F. Si C es una cadena en F, es directo ver que I=∪_J∈CJ es una cota superior de la cadena y por el lema de Zorn, existe una elemento máximal M en F. Vamos a demostrar que M es además un ideal máximal de R. Supongamos que a∉M y sea J=Rx+M. Por la maximalidad conjuntista de M. tenemos que J=R, lo que asegura lo afirmado.

Lo anterior demuestra que en un anillo de Boolle, para cada x≠0, existe un ideal máximal M_x tal que x∉M_x.


Vamos a demostrar que, si R es un anillo de Boole con a,b ⊂R elementos diferentes y J es un ideal máximal de R tal que a+b∉J; entonces a∈R, o b∈R. En efecto, si a∉R, entonces R=Ra+J. Se tiene que a+b=ra+j (j∈J). Es decir b=(r−1)a+j, luego rb=rj∈J. Si r∈J, entonces a+b∈J, lo que es contradictorio. Se deduce que b∈J, lo que afirma lo pedido.

Consideremos el espectro máximal de R, es decir U=Max(R)={ J⊂R: J es un ideal máximal de R }. Si denotamos por P(U)={ A: A⊆U}=2^U, podemos definir un estructura natural de anillo conmutativo en P(U) mediante A+B=A ∪ B−A ∩ B, A.B=A ∩ B. Observe que 0=∅, 1=U.

Finalmente, definamos una aplicación φ:R→P(U) por φ(x)={ M∈U: x∉M}=2^U. Observe que para cada x≠0, M_x∈U; φ(0)=∅ y ∅(1)=U. Vamos a demostrar que φ:R→P(U) es un monomorfismo de anillos. Si a, b ∈R son distintos, vamos a demostrar que φ(a+b)⊆φ(a)+φ(b). En efecto si a+b∉J con J ideal máximal, entonces a ∈J, o b∈J. Si a∈J, es claro que b∉J, por lo tanto J∈φ(b). El mismo argumento se sigue en el otro caso. Supongamos ahora que J∈φ(a)+φ(b)=φ(a)∪ φ(b)−φ(a)∩φ(b). Si J∈φ(a), entonces b∈J y por lo tanto a+b∉J, es decir J∈φ(a+b). Se deduce que φ(a+b)=φ(a)+φ(b).

En caso de a=b, se sigue usando el hecho de que en un anillo de Boolle x+x=2x=0. Además observando que φ(a)+φ(a)=∅.

Sea J∈φ(a).φ(b)=φ(a)∩ φ(b), luego a,b∉J, de lo que se deduce obviamente que ab∉J. Es decir φ(a).φ(b)⊆φ(ab). Por otro lado, si J∈φ(ab), luego ab∉J. Es claro que J∈φ(a)∩ φ(b). Hemos probado que φ(a).φ(b)=φ(ab).

Veamos finalmente que φ es inyectiva. Si φ(a)=0=∅ y a≠0, existe un ideal máximal M_a tal que a∉M_a. Es decir M_a∈φ(a), lo que es contradictorio. Es decir a=0.

Nota

Realmente esta teoría es el desarrollo de un ejercicio propuesto en el Capítulo 11 del libro "Modules and the structure of rings" de Jonathan S. Golam, Tom Head. Editorial Marcel Dekker. 1991.