BREVE DE MATEMÁTICAS (SOBRE EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN-SCHRODER)

Hay resultados en las matemáticas que tienen una profundidad y una repercusión filosófica tan trascendente que, alguna vez en la vida vale la pena estudiar; tal es el teorema de Cantor-Bernstein- Schröder que establece un criterio para establecer si existe una función biyectiva entre dos conjuntos cualesquiera A y B, Formalmente: Dados dos conjuntos A y B, existe entre ellos una función biyectiva f:A→B, si y sólo si, existen g:A→B y h:B→A inyectivas. Esto permite definir el concepto de cardinalidad, y decir que dos conjuntos A y B poseen la misma cardinalidad o potencia y escribimos |A|=|B|, si existe f:A→B una biyección. También, que |A|≤|B|, si existe f:A→B una función inyectiva.. Por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder, tenemos que si |A|≤|B| y |B|≤|A|, entonces |A|=|B|.

A modo de aplicación, considere los números naturales N={1,2,3,....}, la primera creación de Dios antes del primer día. Por 2^N ={A: A ⊂ N}. Veamos usando el principio anterior que estrictamente |N|≤| 2^N|. Como la aplicación f:N→2^N definida por f(n)={n}, para cada n ∈ N, es claramente inyectiva, vale que |N|≤| 2^N|. Supongamos que | 2^N|≤|N|. Del teorema de Cantor-Bernstein-Schröder, existe g:N→ 2^N una biyección. Sea ahora Ahora el conjunto A={n∈N: n ∉ g(n)}, Como la aplicación es sobreyectiva, existe un m ∈N tal que g(m)=A. Hay dos posibilidades para m. La primera es que m∈A, pero en este caso, por definición de A, tendríamos que m
∉ g(m)=A, lo que es contradictorio; luego m ∉ A=g(m), lo que también es contradictorio. Este último argumento fue introducido en la teoría de conjuntos por el gran matemático ingles Bertrand Russell.