LÍMITES DIRECTOS

Consideremos una familia {M_k} _k∈K de módulos sobre un anillo conmutativo con identidad A . Aquí K es un conjunto de índices dirigido. De igual manera consideremos una familia de morfismos de módulos sobre A, { θ_kh: M_k → M_h: k, h ∈ K con k ≪ h }, tales que cumplen: (1) θ_kk = I_k (morfismo identidad I_k(x)=x, ∀ x ∈ M_k) (2) θ_hj ∘ θ_kh= θ_kj, ∀ k ≤ h ≪ j.

Al par ({M_k} , { θ_kh} ) se le llama un sistema directo.

Sea S = ∑_k∈KM_k y ε_k: M_k → S la inmersión canónica ε_k(x_k) = ∑_j∈K δ_k^jx_k, ∀ x_k∈ M_k. Además consideremos el submódulo T en S, generado por los elementos de la forma ε_k(x_k) − ε_hθ_kh((x_k)), ∀ k ≤ h .

El módulo cociente S/T se le llama el límite directo del sistema directo ({M_k} , { θ_kh} ) y se le denota por lim_→ M_k = L.

Observemos que si θ: S →T/S es la proyección canónica θ( ∑_k∈K x_k ) = ∑_k∈K x_k + T, entonces θ ( ε_k(x_k) − ε_hθ_kh((x_k))) = 0, de lo que se deduce que θ ( ε_k(x_k))=θ(ε_hθ_kh((x_k))). Si denotamos por α_k=θ ∘ ε_k, ∀ k ∈K , entonces α_k=α_h∘θ_kh, ∀ k ≤ h.

^{Unicidad del límite directo}

Sea N un módulo sobre A y una familia β_k: M_k → N: k ∈ K de morfismos de módulos, tales que β_h∘ θ_kh = β_k ∀k ≪ h . Existe un único morfismo de módulos f: L → N, tal que f∙ α_k = β_k, ∀ k ∈ K.


Definimos, primeramente la aplicación Ψ: S → N por Ψ(∑_k∈K x_k ) =∑_k∈K β_k(x_k) , de lo que se puede observar que Ψ∘ε_k = β_k, ∀ k ∈ K. Definimos f(θ(z)) = Ψ(z), ∀ z ∈ S . Veamos que la función anterior está bien definida. En efecto, si θ(z) = θ(w) , entonces z − w ∈ L ; pero para los generadores de T, Ψ(ε_k(x_k) − ε_h(θ_kh(x_k)_k) = β_k(x) − β_h(θ_kh(x_k))= 0, por lo tanto Ψ(z) = Ψ(w). Es claro que Ψ es un morfismo de módulos y f∘ α_k= f ∘ θ ∘ ε_k= Ψ∘ ε_k = β_k. Veamos finalmente la unicidad de f. Sea g: L → N tal que g∙ α _k= β_k, ∀ k ∈K, es decir β_k = (g ∘ θ) ∘ ε _k. Se deduce que g ∙ θ = Ψ y como θ es sobreyectiva, Ψ = g.

^{Dos aplicaciones importantes}

(1) (1) Si lim_→ M_k = L y x_h ∈ M_h , tal que θ ( ε_h(x_h)) = 0, entonces existe un t ∈K con h ≪ t y θ_ht(x_h) = 0.

En efecto, si que θ ( ε_h(x_h)) = 0, luego ε_h(x_h) = ∑_i=1ⁿ (ε_hiθ_kihi(x_ki) − ε_ki(x_ki)). Sea t ∈ K con h, h_i, k_i ≪ t. ∀ i = 1,2, ⋯, n (t≠ h, hi, k_i)

Como ε_hiθ_hiki(x_ki) − ε_ki(x_ki) =ε_tθ_kit(x_ki)− ε_ki(x_ki)− [ε_t θ_kit(θ_kihi(x_ki)) − ε_hiθ_hiki(x_ki)] , luego


ε_tθ_ht(x_h) = (ε_tθ_ht(x_h) − ε_h(x_h)) +∑_i=1ⁿ (ε_tθ_kit(x_ki)− ε_ki(x_ki)− [ ε_tθ_kit(θ_kihi(x_ki)) − ε_hiθ_hiki(x_ki])


Lo anterior nos dice que podemos escribir:


ε_tθ_ht(x_h) =∑ ε_tθ_jt(x_j) − ε_j(x_j)

Por la unicidad en la escritura en S, deducimos que cada ε_j=0 para j≠t y para t=j, ε_tθ_jt(x_j) − ε_j(x_j)=0. Se deduce que ε_tθ_ht(x_h) = 0 y por lo tanto θ_ht(x_h) =0.

(2) Dado z ∈lim_→ M_k , existe h ∈ K y x_h ∈ M_h con α_h(x_h) = z.


En efecto, existe y ∈ S tal que θ(y) = z con y =∑_i=1ⁿ (ε_hiθ_kihi(x_ki) − ε_ki(x_ki)), luego si h ∈ K es tal que k_i ≪ h, ∀ i = 1,2, ⋯. n y x_h =∑_i=1ⁿθ_kih(x_ki)∈ M_h , es directo ver que α_h(x_h) = z.

NOTA
Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios sobre límites directos, del capítulo 2 del libro de M.F. Atiyah, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverté. 1978.