LOCALIZACIONES II

Sea A un anillo conmutativo con identidad y S ⊂ A un conjunto multiplicativo tal que 0 ∉ S. Se dice que S es saturado, si b ∙ a ∈ S, entonces b, a ∈ S.

Dado un S ⊂ A un conjunto multiplicativo tal que 0 ∉ S, se define su saturación, como el subconjunto S^—= {b ∈ A: ∃ a ∈ A: b ∙ a ∈ S }. Si b ∈ S, como b ∙ 1 = b ∈ S, nos dice que S ⊆ S^—. Veamos que S^— es multiplicativamente cerrado. En efecto, si b, b´ ∈ S^—, existen a, a´ ∈ A, tales que b ∙ a, b´ ∙ a´ ∈ S, luego (b ∙ a) ∙ ( b´ ∙ a´) = (b ∙ b´) ∙ (a ∙ a´) ∈ S lo que prueba que b ∙ b´ ∈ S^— . Veamos que S^— es saturado. En efecto, si b ∙ a ∈ S^—, entonces existe c ∈ A, tal que (b ∙ a) ∙ c = b ∙ (a ∙ c) ∈ S, lueg b ∈ S^—, por un razonamiento similar a ∈ S^—.

Supongamos ahora, que S´ ⊂ A es un conjunto multiplicativo saturado tal que 0 ∉ S´ y S ⊆ S´ . Si b ∙ a ∈ S , entonces b, a ∈ S´ . Es decir S^— ⊂ S´ , lo que afirma que la suturación S^— de S, es el mínimo subconjunto multiplicativo saturado de A que contiene a S.

Sea α un ideal de A y consideremos S = 1 + α Es directo ver que S es un conjunto multiplicativo y 0 ∉ S. Veamos que S^—= C = { b ∈ A: b + α ∈ U( A/α ) } (U( A/α) designa las unidades del anillo cociente A/α ).


En efecto, si b ∈ S^—. existe a ∈ A tal que b ∙ a =1 + c (c ∈ α), Es decir (b + α) ∙ (a + α) = 1 + α. Es decir S^— ⊆ C, Ahora, si b ∈ C, existe a ∈ A tal que, (b + α) ∙ (a + α) = 1 + α. Es decir b ∙ a − 1 ∈ α. Se deduce que C ⊆ S^—. Se asegura lo afirmado.

Por ejemplo, sea A = Z el anillo de los enteros y α = Z6 = { 6 ∙ n: n ∈ Z} . Si S = 1 +Z6 , entonces A/ α = Z6. Sabemos que U(Z6) = {1+Z6, 5+Z6 } , luego C = { 1 + 6 ∙ n, 5 + 6 ∙ n : n ∈ Z} =S^—.

El siguiente resultado caracteriza la saturación:

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Si A es un anillo conmutativo con identidad y S en A es multiplicativo, entonces S^—=A—U{ P ∈ spect(A): P∩S=∅}.

En efecto, considere b ∈S^— y P ∈ spect(A) con P ∩ S = ∅. Si b ∈ P, como existe a ∈ A con b ∙ a ∈ S, entonces b ∙ a ∈ S ∩ P. lo que es contradictorio. Es decir S^— ⊂ W. Recíprocamente, si b ∈ W y Rb ∩ S = ∅, existe un ideal primo P con Rb ⊂ P, lo que es contradictorio. Se deduce que W ⊂ S^—. Termina la prueba. ∎

Sea f: A → B un morfismo de anillos conmutativos con unidad y S ⊂ A , con multiplicativos 0 ∉ S. Si T ⊂ B es multiplicativo con f(S) ⊂ T, 0 ∉ T y se define f^{^}: A_S: → B_T por f^{^}[ a/s]=[ [ f(a)/f(s) ] ]. Es inmediato ver que la aplicación está bien definida. Caso particular, es para el morfismo identidad i: A → A (i(a) = a, ∀ a ∈ A). Se tiene el siguiente resultado:

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Sea A un anillo y S ⊂ T ⊂ A con S, T multiplicativos y 0 ∉ T. Son equivalentes: (1) i^{^}: A_S: → A_T es un isomorfismo (2) Para cada t ∈ T, [ t/1]∈ U(A_S) (3) T ⊆ S^—, (4) Cada ideal primo que corta T corta a S.

(1) implica a (4). Sea P un ideal primo de A, tal que P∩T≠∅ y P∩S=∅. Como PA_S es un ideal primo de A_S, y existe t ∈ P∩T, luego [ t/1]∈PA_S, pero i^{^}( [ t/1])=[ [ t/1 ] ]∈ U(A_T), lo que es contradictorio.

(4) implica (3)Supongamos que t ∈ T, pero t∉S^—. Como Rt∩S=∅, existe un ideal primo P con Rt⊆P y P∩S=∅, lo que es contradictorio.

(3) implica (2) Si t ∈ T, existe a∈A, tal que a∙t=s∈S, luego [ a/1][ t/1] ∈U(A_S). Se deduce la implicación.

(2) implica (1)Veamos que i^{^} es inyectiva. Si i^{^}( [ a/s])=[ [ a/s]]=0, existe un t ∈ T, con t∙a=0, luego [ t/1][ a/1] =0 y como [ t/1] ∈U(A_S), se deduce que [ a/1] =0 y por lo tanto [ a/s]= [ a/1] [ 1/s]=0. Veamos que i^{^} es sobreyectiva. Veamos que si t ∈ T entonces [[ 1/t]]∈i^{^}( A_S). En efecto i^{^}([ a/s][ t/1])=i^{^}([ 1/1]) luego [[ a/s]][[ t/1]]=[[ 1/1]]. Se deduce que [[ 1/t]]= [[ a/s]]= i^{^}([ a/s]). En general como [[ a/t]]=[[ a/1]][[ 1/t]] , se deduce que [[ a/t]]∈i^{^}( A_S).∎

NOTA

Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios de anillos y módulos de fracciones, del capítulo 3 del libro de M.F. Atiyah, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverté. 1978.