APLICACIONES DEL LÍMITE DIRECTO
APLICACIONES DEL LÍMITE DIRECTO
Este post es continuación del trabajo titulado "Límites directos", por lo tanto usamos libremente la simbología que en dicho trabajo se introdujo.
(1) Sea la familia {Mk: k∈K} de submódulos de un módulo M, tal que dados Mi y Mj , existe un Mk con Mi∪ Mj⊂Mk. Si definimos el orden parcial i≪j, si y sólo si, Mi ⊆Mj , entonces K es un conjunto dirigido. Si θkh: Mk → Mh, k ≪ h es la aplicación identidad θkh(x) = x, ∀ x ∈ Mk ; entonces ({Mk} , { θkh} ) es un sistema directo. Probemos que lim→ Mk = ∑k∈KMk (suma directa). En particular todo módulo es límite directo de sus submódulos finitos.
Veamos que T = 0 , en efecto si εk(x) − εh(θkh(x)) ∈ T , como θkh(x) = x, y ε h |Mk = εk, deducimos que εk(x) − εh(θkh(x))= 0, por lo tanto lim→ Mk= ∑k∈KMk. La última afirmación se sigue fácilmente.
(2) Sea un sistema directo de R-módulos ({Mk} , { θkh} ) , donde R es un anillo conmutativo con identidad y N un módulo sobre R ; entonces ({ Mk ⊗ N} , { θkh ⊗ 1}) forman un sistema directo y lim→ Mk⊗ N es isomorfo a (lim→ Mk)⊗ N.
Es fácil ver que ({Mk} , { θkh} ) es un sistema directo. Por lo tanto existe lim→ Mk⊗ N. Sean los morfismos βk: Mk ⊗ N →(lim→ Mk)⊗ N con βk = αk ⊗ 1 , es decir βk(xk⊗ n) = αk(xk) ⊗ n . Tenemos que βh((θkh ⊗ 1)(xk ⊗ n)) = αh(θkh (xk)) ⊗ n = αk(xk) ⊗n = βk(xk ⊗ n). Este asegura la existencia de un único morfismo f: lim→ Mk⊗ N →(lim→ Mk)⊗ N , tal que f(θˆ)(εkˆ(xk ⊗ n)) = βk(xk ⊗ n) =αk(xk) ⊗ n, , siendo θˆ, εkˆ los respectivos morfismos canónicos estudiados en la construcción de lim→ Mk⊗ N .
Ahora definamos h(θ(εk((xk)), n) = θˆ(εkˆ(xk ⊗ n)). Se ve que está bien definida y por ser bilineal, existe una única lineal g: (lim→ Mk)⊗ N → lim→ Mk⊗ N con g(θ(εk((xk))⊗ n) = θˆ(εkˆ(xk ⊗ n). Es directo ver que g = f−1.
(3) Sean M̃ = ({Mk}, {θkh}) y Ñ=({Mkˆ}, {μkh}) dos sistemas directos sobre el mismo conjunto de índices. Sean lim→ Mk y lim→ Nk sus respectivos límites directos y αk: Mk →lim→ Mk y μ k: Nk →lim→ Nk los respectivos morfismos asociados.
Un morfismo Φˆ: M̃ → Ñ de sistemas directos es una familia φk: Mk → Nk de morfismos tales que
μkh∘ φk= φh∘θkh
Demostremos que existe un único morfismo Γ: lim→ Mk →lim→ Nk, tal que
Γ ∘αk= μ k ∘φk .
Definamos γk(xk)= μ k(φk(xk)),
Veamos que γk= γh∘ θkh. En efecto γh( θkh(xk))= μ h(φh( θkh(xk)))= μ h(μkh( φk(xk)))=μ k( φk(xk))=γk(xk).
Existe por lo tanto un único morfismo Γ: lim→ Mk →lim→ Nk, tal que Γ( ∑kαk(xk) = ∑kμ k( φk(xk)), se deduce el resultado.
(4) Sea un sistema directo de anillos conmutativos con unidad ({Rk} ,{θkh} ) , donde cada θkh:Rk →Rh es un morfismo de anillos. Sabemos que cada Rk tiene una estructura natural de Z-módulo, y por lo tanto podemos considerar el límite directo lim→ Rk =R como un Z -módulo. Veamos que R tiene una estructura natural de anillo conmutativo con unidad, tal que cada αk :Rk →R es un morfismo de anillos.
Definamos inicialmente αk(x) ∙ αk(y) = αk(x∙y) (∀x, y ∈ Rk) un producto natural en R = (∑h∈Kεh(Mh))/T. Veamos que está bien definido. Sea αk(x−x´)=αk(y−y´)=0. Podemos hallar h≥ k, tal que θkh(x − x´) =θkh(y − y´)=0. De lo anterior podemos deducir que x∙y−x´∙y´=(x−x´)y+(y−y´)x´, luego θkh(x∙y−x´∙y¨)=0. De lo anterior se deduce que εk(x∙y−x´∙y´)−εhθkh(x∙y−x´∙y¨)=εk(x∙y−x´∙y´)=0. Es decir αk(x∙y)= αk(x´∙y´), lo que asegura lo afirmado. Si definimos αk(x) ∙ αh(y) =0 para h ≠k, podemos definir un producto de manera natural en el límite directo R. Vamos a demostrar que αk(1k) es la unidad de este producto no importa cual sea el k∈K seleccionado. En efecto, supongamos que j ≠k, existe un h≥ k, j. Por lo tanto εk(1k)−εhθkh(1k)= εk(1k)− εh(1h)=0. Esto prueba lo afirmado. Es directo ver que εk((1k) es la unidad de R y por lo que hemos probado que cada αk :Rk →R es un morfismo de anillos.
Veamos ahora que lim→ Rk =0, entonces algún Rk=0,
Supongamos que todo Rk≠ 0 y consideremos αk(1k) = 0. Existe por lo tanto un h ≥ k, tal que θkh(1k)= 1h=0, lo que es contradictorio.
Veamos que lim→√Rk=√ (lim→Rk)
Supongamos que Ak = √Rk. Consideremos la familia ({Ak} , { μkh} ) donde μkh: Ak→ Ah es el morfismo restringido μkh: Ak(x)=θkh|Ak (h ≥ k). Recuerde que θkh(√Rk)⊆√Rh. Sea φk: Ak → Rk la inclusión natural. Es claro que θkh∘ φk= φh∘μkh. Por la parte (2) existe un morfismo Γ: lim→ Ak →lim→ Rk , tal que Γ ∘ μk= αk ∘φk . Específicamente Γ( ∑kμk(xk) = ∑k αk( φk(xk)). Veamos que ∑k αk( φk(xk))∈√ (lim→Rk). Sean los μk1(xk1),...,μkn(xkn) los sumandos no nulos. Existen potencias no negativas m1,...,mn, tales que xkimi=0. Si n es un número natural no negativo tal que es mayor que todos los mi, entonces ( ∑kμk(xk))n=0. Esto prueba lo afirmado.
Veamos que la aplicación es inyectiva. Si Γ( ∑kμk(xk) = ∑k αk( φk(xk))=0, entonces cada αk( φk(xk))=0, luego αk( xk)=0 existe un t ∈K con k≪ t y θkt(xk) = 0. Esto dice que εk(xk)− ε´tθkt(xk) =ε´k(xk)∈ T´, es decir μk(xk)=0, para todo k. Esto prueba la inyectividad.
Finalmente probemos que la aplicación es sobreyectiva. Sea ∑k αk(yk)∈√ (lim→Rk). Sean los αk1(yk1),...,αkn(ykn) los sumandos no nulos, tales que αki(yki)m= αki(ykim)=0 para todo ki. Existe j con ki≪j, para todo ki tal que θkij(ykim)=0 para todo ki. Tenemos que Γ( ∑kiμjθkjj(yki)) ==∑kiαkj(φkj(θkij(yki )))=∑kiαki(yki), lo que termina la prueba.
Para concluir demostremos que si cada Rk es un dominio de integridad, entonces lim→ Rk es un dominio de integridad. Sabemos que dados x, y ∈ lim→ Rk , existe un h ∈ K y z , w ∈ Rh, tal que αh(z)=x y αh(w)=y, por lo tanto si x∙ y=0, entonces αh(z∙w )=0. Existe un j∈ K tal que θhj(z∙w)= θhj(z)∙θhj(w)=0, luego θhj(z)=0 (por ejemplo). Se deduce que αh(z)=x=0.
NOTA
Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios sobre límites directos, del capítulo 2 del libro de M.F. Atiyah, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverté. 1978.