COMPLETITUD EN ESPACIOS MÉTRICOS
COMPLETITUD EN ESPACIOS MÉTRICOS
Sea (X,d) un espacio métrico. Se dice que es completo, si cada sucesión de Cauchy (xn) es convergente.
Un espacio métrico (Y,d´) es la completitud de (X,d), si (Y,d´) es completo y existe una isometría f: (X,d)→(Y.d´), tal que la clausura en la topología de la métrica f(X)—=Y.
Veamos que todo espacio métrico (X,d) admite una completación.
Denotamos mediante C(X,R) el espacio de todas las funciones continuas del espacio métrico X en los números reales con su métrica usual. Se define
d´(f,g)=supx∈X|f(x)−g(x)| (∀ f,g ∈C(X,R)).
Veamos que con esta métrica C(X,R) es un espacio completo. En efecto considere una sucesión de Cauchy (fn) y ε>0, luego d´(fn,fm) < ε, ∀ n, m > n0. Es decir supx∈X|fn(x)−fm(x)| < ε, ∀ n, m > n0; luego |fn(x)−fm(x)| < ε, ∀ n, m > n0. Esto dice que la sucesión (fn(x)) es de Cauchy en R, que sabemos que es completo, luego fn(x) → f(x). Se comprueba sin dificultad, que f es continua y d´(fn,f)→0. Ahora definamos φ:X→C(X,R) por: φ(x)=φx, donde φx(y)=d(x,y). Vamos a demostrar que φ es una isometría. En efecto, d´(φ(x),φ(y))=d´( φx,φy)= supw∈X|φ(x)(w)−φ(y)(w)| =supw∈X|d(x,w)−d(y,w)|≤d(x,y). Por otro lado |d(x,y)−d(y,y)|≤d´(φ(x),φ(y)). De lo que se deduce que d´(φ(x),φ(y))=d(x,y). Si Y=φ(X)—, se prueba lo afirmado, ya que Y es completo por ser un subespacio de un completo.
Los siguientes resultados son ciertos 1.-Si (X,d) es un espacio métrico cuya métrica es una ultramétrica, entonces la métrica de su completación es también una ultramétrica. Recordemos que d es una ultramétrica, si d(a,c)≤máx(d(a,b), d(c,b) )(∀ c ∈X). Sin pérdida de generalidad, supondremos que X⊆Y con (Y,d) completo y Y=X—. Sean a,b, c ∈ Y. Existen por lo tanto an→a, bn→b y cn→c con an, bn y cn en X. Pero d(an, bn)≤máx( d(an, cn), d(cn, bn)). Como d(an, bn)→d(a,b), d(an, cn)→d(a,c) y d(cn, bn)→d(c,b) y recordando que máx( d(an, cn), d(cn, bn))=(d(an, cn)+ d(cn, bn))+|d(an, cn)−d(cn, bn)|)/2, se deduce el resultado.2. Si (X,d) es un espacio métrico completo y U=U1∩U2∩...∩Un∩ ... , dond cada Un es un abierto en la topología de la métrica (es decir U ∈ G δ ), entonces U es homeomorfo a un espacio métrico completo. Para demostrarlo, recordaremos algunos resultado de los espacios métricos: Si (Xn,dn) es una familia numerable es espacios métricos completos con cada Xn de diámetro ≤1, entonces el espacio producto X=X1x X2x...x Xnx ..., con la métrica de Fréchet d((xn), (yn))=Σn1/2ndn(xn, yn) es métrico completo
Para verlo. considere ε >0, luego existe un n1, tal que
Σn≥ n11/2ndn(xn, yn) ≤Σn≥ n11/2n< ε/2 (*) Por otro lado, si y n=(xnk)k≥1 es de Cauchy, existe un n2, tal que si n≥ n2, entonces Σk1/2kdk(xnk, ymk) < ε. Se deduce que dk(xnk, ymk) < ε. Por lo tanto (xnk)n≥1 es de Cauchy para cada k en Xk,, que es completo, por lo tanto xnk→xk. Existe un n3, tal que si n≥ n3, entonces dk(xnk, xk) < ε/3 (k=1,2,...,n1) (**)Usando ( * ) y (**), se prueba que y n→x=(x1,x2,,,,)
Si (X,d) y (Y,d´) son espacios métricos, f:X→Y es una función continua y Gf={(x,f(x): x∈X} (gráfica de la aplicación f); entonces la aplicación φ :X→Gf definido por φ(x)=(x,f(x)) es un homeomorfismo. Recuerde que la métrica d´´ en espacio producto XxY, se define por d´´((x,y),(w,z))=(d(x.w)2+d´(y,z)2)1/2 Supongamos que xn→x, luego d´´((xn,f(xn)),(x,f(x)))=(d(xn,x)2+d´(f(xn),f(x))2)1/2→0 obviamente. Es decir φ es continua y claramente una biyección. Por otro lado si φ(xn)→φ(x), entonces xn→x, ya que d(xn,x)≤d´´(φ(xn),φ(x)), lo que prueba que φ−1 es continua.
Si (X,d) un espacio métrico completo , F un subespacio cerrado de X y f:(X−F)→R por f(x)=1/d(x,X−F); entonces (X−F)xf(X−F) es un cerrado en la topología producto en XxR .
En efecto, considere (xn,f(xn))→(x,y) con xn ∈X−F, luego xn→x, f(xn)=1/d(xn,X−F)→y. Veamos que x∈X−F. De lo contrario d( xn,X−F)≤|d( xn,X−F)−d( x,X−F) | ≤ d(xn,x) →0, Se deduce que 1/d(xn,X−F)→+∞=y, lo que es contradictorio. Lo anterior garantiza que (X−F)xf(X−F) es cerrado.
Ahora supongamos que U es un abierto del espacio métrico completo X Si llamamos F=X−U, deducimos por lo estudiado hasta ahora, que U es homeomorfo al subespacio (X−F)xf(X−F) que es por lo tanto completo.
Antes de finalizar, es importante notar que si (X,d) es un espacio métrico completo, existe un espacio métrico (Y,d´) de diámetro finito y completo que es su homeomorfo. En efecto, es conocido que d´(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y)) es una métrica sobre X. Si I:(X,d)→(X,d´) es la aplicación identidad, veamos que I es un homeomorfismo. Sólo importa ver que si d( xn,x)/(1+d( xn,x))→0, entonces d( xn,x)→0. Si ε >0 y ε < 1/2, existe un n 0, tal que para n≥n0, d( xn,x)/(1+d( xn,x))< ε/2, luego d( xn,x)<(ε/2)/(1−ε/2)<(ε/2)/(1−1/2)=ε. Esto prueba lo afirmado. Se deduce por lo tanto que (X,d) es completo, si y sólo si, (X,d(x,y)/(1+d(x,y))) es completo.
Para finalizar, considere U=U1∩U2∩...∩Un∩ ... , donde cada Un es un abierto en la topología de la métrica, y en principio, que (X,d) es métrico completo con d(x,y)≤1, Definamos fn(x)=1/d(x,X−Un), para cada x∈Un y f(x)=(x,f1(x),f2(x),...) para cada x∈U. Sabemos que X=Xx X1x...x Xnx ..., con Xn=R con la métrica dn(x,y=|x−y|/(1+x−y|) y con la métrica de Fréchet, es completo. Veamos que Ux f1(U)x...x fn(x)(U)x ... es cerrado en la métrica de Fréchet. Consideremos wn=(xn,f1(xn),f2(xnm,,,,)→(y1,y2,...). Vamos a demostrar que y1∈U1 y y2=f1(y1 ), Como 1/2d(xn,y1)+Σm>11/2mdm(fm−1(xn), ym) →0, entonces 1/2d(xn,y1)→0 y d2(f1(xn),y2)→0, luego d(xn,y1)→0 y |f1(xn)−y2|→0, por un argumento ya estudiado y1∈U1 , y2= =f1(y1 ). En general la prueba se sigue por inducción. Es fácil demostar que f:U→Ux f1(U)x...x fn(x)(U)x ... es un homeomorfismo.
Si (X,d) es métrico completo, consideramos (X,d´) con d´(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y)) que sabemos es homeomorfo a (X,d). Se aplica lo anterior a U=U1∩U2∩...∩Un∩ ..., definido mediante f(x)=(x,f1(x ), f2(x ),...), para todo x ∈U y visto U en la topología del espacio métrico (X,d´).
3.-Si (X,d) es métrico tal que cada cerrado numerable F de X es completo, entonces X es completo.
Sea (xn) una sucesión de Cauchy. Si A={xn}, luego A—=A ∪ A´. Si A´≠ ∅, entonces la sucesión converge. De lo contrario A—=A y como A es numerable, por hipótesis deducimos que la sucesión converge.
4.-Si (X,d) es un espacio métrico, y cada bola cerrada es completa, entonces X es completo.
En efecto, sea (xn) una sucesión de Cauchy. Como ella es acotada, existe una bola cerrada ( Bx(r))— con (xn) ⊆ ( Bx(r))—, luego es completo y por lo tanto xn→x para algún x∈ ( Bx(r))—. Se deduce el resultado.
Nota . Es importante resaltar que los ejercicios presentados son del capítulo de completitud del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.