EJERCICIOS DE MÉTRICAS
EJERCICIOS DE MÉTRICAS

1.- Sea R el conjunto de los números reales con su métrica usual. Es decir d(x,y)=|x−y|. Si w ∈R, pruebe que existen sólo dos isometrías f:R→R tales que f(w)=w.
Solución. Si tal isometría existe, luego |f(0)−f(w)|=|w|.
Si w≠0, entonces f(w)=f(0)−w, o, f(w)=w−f(0), luego f(0)=0, o f(0)=2w.
Para f(0)=0, |f(z)|=|z|, para todo z∈R. Solamente puede ocurrir f(z)=z, para todo z∈R. En caso de f(0)=2w, luego |f(0)−f(z)|=|2w−f(z)|=|z| para todo z∈R. Solamente puede ocurrir f(z)=2w−z.
Para w=0, f(0)=0, las isometrías respectivas son: f(z)=z, o, f(z)=−z para todo z∈R.∎
2.-Sea (X,d) un espacio métrico, recuerde que si A es un subconjunto de X, su diámetro se define como el número real no negativo: dim(A)=sup{ d(x,y): x,y∈A}. Demuestre que si B y C son subconjuntos de X con diámetros finitos, entonces dim(B ∪ C) es también finito. Si ambos subconjuntos tienen un punto en común, entonces dim(B ∪ C)≤dim(B)+dim(C).
Solución. Primero observemos que si dim(A) es finito, entonces existe una bola cerrada C(x,r)={ y∈X: d(x,y)r, r>0} tal que A⊂ C(x,r) y recíprocamente. En efecto, si dim(A)=r <+∞, entonces, es claro que para un x∈A fijo, A⊂ C(x,r). Recíprocamente, dada una bola cerrada C(x,r) con A⊂ C(x,r), entonces para y, z ∈A, d(y,z)≤d(x,y)+d(x,z)≤2r. Se deduce lo pedido.
Sea A=B ∪ C. Por lo afirmado anteriormente, B⊂ C(a,r) y C⊂ C(b,s).
Llamemos d(a,b)=t, luego para x∈B, y∈C, tenemos que d(x,y)≤d(x,a)+d(a,y)≤d(x,a)+d(a,b)+d(b,y)≤r+s+t. Se deduce que dim(A)≤max(r+s+t,dim(B),dim(C)).
Si existe w∈B∩ C, entonces d(x,y)≤d(x,w)+d(w,y)≤dim(A)+dim(B), para todo x∈A, y∈B. Se deduce la última afirmación. ∎
3.-Hallar un espacio métrico que sea isométrico a uno de sus subconjuntos propios:
Sea X=N los números naturales con la métrica d(n,m)= δn,m (delta de Kronecker). Si A es el subconjunto de los números pares, definamos f:N→A por f(n)=2n para todo número natural n. Es claro que es una biyección. Además d(f(n),f(m))=d(2n,2m)=δ2n,2m=δn,m =d(n,m)∎
4,- (Espacio antisimétrico) Si d satisface los axiomas de una métrica sobre X, salvo a desigualdad triangular, pero vale el axioma
d(a,c)≥d(a,b)+d(b,c)
probar que M tiene a lo más un punto. Solución.Supongamos que X tiene más de un punto, luego
Para c=a d(a,a)≥d(a,b)+d(b,a), luego 0=2d(a,b). Es decir a=b, lo que es contradictorio.∎
5.-Sea (X,d) un espacio métrico tal que d(x,y) sólo toma los valores 0, 1 y 3. Defina x∼y, si y sólo si d(x,y)≤1. Demostrar que "∼" define una relación de equivalencia y para cada clases [x ] , [ y], la función [ d]( [x ] , [ y])= [ d]( [y ] , [ x])=0 si [x ] = [y] y [ d]( [x ] , [ y])= [ d]( [y ] , [ x])=3 en caso contrario, define una métrica en las clases de equivalencia.
Solución. Es claro que "∼" define una relación reflexiva y simétrica. Si x∼y , y∼z, entonces d(x,y)≤1, d(y,z)≤1. Como d(x,z)≤d(x,y)+d(z,y)≤2. Pero como d(x,z)≠2, entonces d(x,z)=1. Esto prueba la transitividad. Para probar que [ d]( [x ] , [ y])=d(x,y) define una métrica, sólo hay que demostrar que la desigualdad triangular. En efecto, si [ d]( [x ] , [ y]) )=0, es claro que [ d]( [x ] , [ y]) )≤ [ d]( [x ] , [ z]) )+ [ d]( [z ] , [ y]) ). Si [ d]( [x ] , [ y]) )=3, es claro que [ d]( [x ] , [ z]) )=3, o [ d]( [z ] , [ y]) )=3, de lo contrario [x ] = [ y] =[z ], lo que es contradictorio.
Nota . Es importante resaltar que los resultados presentados son ejercicios del capítulo de espacios métricos del libro: "Set theory and metric spaces" de Kaplansky. Editoril chelsea. 1972. Boston.