LOCALIZACIONES I
LOCALIZACIONES I
Consideremos A un anillo conmutativo con unidad, S un subconjunto de A multiplicativamente cerrado tal que 0∉S y AS el anillo localalizado o anillo de fracciones. Valen los siguiente resultados:
1. -Si A es un anillo conmutativo con identidad y S es un conjunto multiplicativamente cerrado con 0 ∉ S, entonces existe un ideal primo α ⊆ A − S , tal que si P es un ideal primo con P ⊆ A − S y α ⊆P, entonces P=α .
Prueba
Sea F = {α:α es un ideal de A con α⊆ R − S}. Esta familia es no vacía y es inmediato ver que toda cadena C en F tiene cota superior, por lo tanto usando el lema de Zorn, existe un ideal máximal α en F. Veamos que es primo. En efecto si rs ∈ α y r, s ∉ α, luego los ideales α + 〈 r〉 y α + 〈s〉 cortan S. Es decir existen s1 , s2 ∈ S, tales que s1 = a1 + b1r, a1 ∈ α y s2 = a2 + b2s, a2 ∈ α.Multiplicando ambas igualdades:
s1s2 = a1a2+ a1b2s + a2b1r + b1b2sr ∈ α,
lo que es una contradicción.∎
2.-Si A es un anillo conmutativo con identidad y S es un conjunto multiplicativamente cerrado, demostrar que dado un módulo M sobre A finitamente generado, entonces MS=0, si y sólo si, existe s ∈ S, tal que sM = 0.
Prueba
Como M = 〈 m1, ... , mk〉y cada cada [mi/1]= 0, ∀ i = 1,2, ... , k, luego existen si ∈ S tales que simi = 0, ∀ i = 1,2, ... , k . Si s = si ... . sk, entonces smi = 0, ∀ i = 1,2, ... , k. Esto prueba el directo, el recíproco es obvio.∎3-Sea A es un anillo conmutativo con identidad y α un ideal de A. Si S = 1 + α, demostrar que αS está contenido en el radical de Jacobson de AS . Deduzca del lema de Nakayama y del resultado anterior que dado un módulo M sobre R finitamente generado, tal que si αM =M, entonces existe x ∈ R, tal que x ≡ 1(mód.α).
Prueba
Sea β = β′S , β′ ∈ Spect(A), β′ ∩ S = ∅. Si β es un primo máximal de AS , debemos probar que αS ⊂ β′S . De lo contrario, existe [r/s]∈ αS − β′S, y por lo tanto AS = β′S + [r/s]〉.Como 1 =[r1/s1]+[r2/s2][r/s] (r1 ∈ β′, r∈α).
Podemos escribir 1 =(r1′+r2′)/s ( r1′∈ β, r2′ ∈ α).
Deducimos que existe s´ tal que s´(s− r1´−r2′)=0.
Se deduce que s´s∈ β´, lo que es contradictorio.
Supongamos ahora que αM = M, luego αSMS = MS y como αS ⊂ J(RS) (radical de Jacobson), por el lema de Nakayama MS= 0. Por el primer resultado, existe s ∈ S, tal que sM = 0. Además s ∈ 1 + α, lo que prueba la última afirmación.∎
4.-Si A ≠ {0} es un anillo conmutativo con identidad y F = {S: S es multiplicatvamente cerrado y 0 ∉ S}. Demostrar que existe un S máximal en la familia F. Además S es máximal, si y sólo si, R − S es un ideal primo minimal.
Prueba
Sea C una cadena en F. Es claro que S0 = ⋃{S: S∈C} es un conjunto multiplicativamente cerrado y cota de la cadena C. Existe por el lema de Zorn un elemento S máximal en la familia F.Sabemos que existe un ideal máximal en la familia de los ideales α de A, tales que α⋂S=∅. Realmente este ideal es primo. Si R − S0 no es primo, α⊂ R − S0 un ideal primo, luego R − α⊃ S lo que es contradictorio, ya que R − α ∈ F. El recíproco es trivial.∎
5.-Sea A es un anillo conmutativo con identidad y Z(A) el conjunto de sus divisores de cero : (1) Z(A) es unión de ideales primos (2) Cada ideal primo minimal de A está contenido en Z(A). (3) Si S 0= R − Z(A) y AS0 es el anillo total de fracciones, entonces S 0 es el mayor conjunto multiplicativamente cerrado tal que el morfismo canónico iS0: A → AS0 es inyectivo (iS0 )r)=[r/s]). (4) Cada elemento de AS0 es una unidad o un divisor de cero. (5) Un anillo en el que cada no unidad es un divisor de cero es un anillo total de fracciones. Es decir iS0:A →AS0 es biyectiva.
Prueba
(1) S0 = R − Z(A) es un conjunto multiplicativamente cerrado con 0 ∉ S0. Existe por lo tanto un ideal máximal en R − S0= Z(A) que es primo. Es fácil ver que Z(A) =∪ {α: α ideal máximal contenido en Z(A)}, usando los argumentos finales del resultado anterior.(2) Sea α un ideal primo minimal. Consideremos S = R − α un conjunto multiplicativo cerrado máximal . Veamos que R − Z(A) ⊂ R − α. De lo contrario, existe s ∈ (R − Z(A)) − (R −α). Sea S̃ = {snx: x ∈ R − α, n ≥ 0} que es claramente multiplicativo cerrado y como (R − α) ⊊ S̃, llegamos a una contradicción. Se deduce el resultado.
(3) Demostremos que, si S es multiplicativamente cerrado con 0 ∉ S y existe s ∈ S⋂Z(A), entonces iS:A → AS (iS(r)=[r/1]) no es inyectiva. En efecto, existe r ∈ A, r ≠ 0, tal que rs = 0. Esto dice que [r/1] = 0, de lo que se deduce lo afirmado. Por lo tanto si iS:A → AS es inyectiva, luego S ⊂ S0.
(4) Como R = Z(A) ∪ S0 el resultado es inmediato.
(5)Supongamos que A = Z(A) ∪ U(A), donde U(A) denota las unidades del anillo. Tenemos que S = U(A) y por lo tanto iS:A → AS es inyectiva,. Para ver que es sobreyectiva, consideremos [r/s]≠ 0. Sea x = s−1r. Por lo tanto iS(s−1r)= [s−1r/1]=[r/s].∎